Développements et factorisations

Dès la quatrième, les élèves ont appris à utiliser la propriété de distributivité pour développer un produit et pour factoriser une somme et une différence. Ça, c'est la théorie. En pratique, c'est souvent resté très nébuleux pour beaucoup d'entre eux et des rappels ne sont jamais superflus.

Sauf qu'il n'est pas question de tout refaire comme si rien n'avait été vu. Au départ, j'avais envisagé de faire une séquence avec quelques rappels de distributivité simple (pour tous nombres k, a et b, k(a+b)=ka+kb et k(a-b)=ka-kb) et l'introduction de la distributivité double (pour tous nombres a, b, c et d, (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd).

En fin de compte, ayant manqué certains cours, j'ai dû revoir mon organisation. J'ai proposé, de façon perlée tout au long de la période, des questions flash en rapport avec le calcul littéral pour réactiver les choses, puis j'ai traité en dernière semaine et en trois séances seulement, la distributivité simple.

Et donc, cette activité ?

Pendant la première des trois séances, j'ai placé les élèves en groupes de 4. J'avais préparé à l'avance des cartes ; certaines avaient un arrière-plan foncé et d'autres un arrière-plan clair. Sur les cartes, j'avais écrit des expressions littérales ou des calculs, de différents niveaux de difficultés. Certaines expressions contenaient des formes développées et d'autres des formes factorisées.

Paquet de cartes distribuées aux élèves

Et bien sûr, les cartes allaient par paires : une carte foncée avec une carte claire ; objectif : associer les formes développées et les formes factorisées pour retrouver la règle et la méthode.

Quel est l'intérêt ? Premièrement, l'habillage. C'est un peu différent de d'habitude, donc les élèves participent plus volontiers. Le fait de pouvoir manipuler les cartes, donc de comparer la position des signes +, -, les valeurs des nombres, etc., facilite l'accès à l'abstraction. Deuxièmement, cela permet de mettre tous les pièges possibles et imaginables avec les signe, des factorisations inattendues, etc. On ne perd pas de temps à écrire et il est facile pour les élèves de procéder par essais-erreurs, alors que c'est généralement très fastidieux en calcul littéral.

Et surtout, quasiment tous les élèves ont travaillé. C'est triste à dire, mais c'est loin d'être systématique, surtout avec des chapitres difficiles comme celui-là. Bref, je suis content, l'activité s'est bien passée et les élèves ont apprécié.

Et après ?

Pour la synthèse, nous avons procédé à l'oral : les élèves à tour de rôle me proposent une paire de cartes qu'ils ont associées, et on commente. Certains ont même essayé de catégoriser les expressions selon ce qu'ils ont appelé « la complexité », et qui en fait est le degré du polynôme sous-jacent (degré 0 s'il n'y a pas de x, degré 1 s'il y a des termes en x et degré 2 s'il y a des termes en x²). On a donc opéré une classification intéressante et inattendue, ce qui montre encore une fois que les élèves sont pleins de ressources et de créativité — et j'avais eu tendance à l'oublier ces dernières semaines.

Les deux autres séances, nous avons écrit la leçon, énoncé les propriétés et donné quelques exemples avec la méthode détaillée pour aller au-delà de l'intuition. Normalement, c'était des rappels… Et ils étaient bien utiles ! Puis, la dernière séance a été consacré à un travail basé sur l'étude d'un programme de calcul ; beaucoup plus ordinaire, donc.

Une question demeure : cela a-t-il vraiment permis aux élèves de progresser ? Je pense que oui, mais nous ne le saurons jamais. C'est une des grandes frustrations de l'enseignement.

Et bonnes vacances à tous.